矩阵微分

本文记录了我为了获得一种自己舒服的矩阵微分答案证明结果的努力过程。（同时也记录下这些我提取出的 prompt）

为什么我会想明白一些矩阵微分（在 pytorch 自动微分的当下，或许显得有一些没必要）原因如下

1. Karpathy 视频中提到过不理解矩阵微分求导以及反向传播机制的人会写出一些即使用了自动微分也会在特定情况下出错的代码
2. 理解了矩阵微分，掌握一些常用结论和推导，才能明白大模型机制中的一些设定，一些结论。例如“为什么反向传播的计算量大概是正向的两倍。（因为大模型主要计算是矩阵相乘，矩阵相乘里 $X$ 和 $W$ 都得分别求微分，相当做了两次矩阵相乘，这种视角理解简单，不会被繁杂的符号困住）”

标量视角，下标视角，矩阵微分视角（利用 $tracetrick$），$vec$ 视角

抛弃掉标量视角

很多证明希望把矩阵分成一个个标量再去组合起来，我觉得很难获得一种更 high level 的视角。不过我现在还没太明白爱因斯坦求和约定之类的，还有个库叫 einops 什么的。总的来说我认为标量视角去看不方便。

矩阵微分

从全微分角度出发推导出矩阵相乘的梯度 介绍 trace trick 利用全微分和 trace trick 给出更多的深度学习或大模型领域中梯度的来源证明

我们从全微分(total differential)角度推导矩阵相乘的梯度，形式为：

$$Z=AB$$

其中：

• $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$
• $B\in {\mathbb{R}}^{n\times p}$
• $Z\in {\mathbb{R}}^{m\times p}$

我们的目标是求：

• $\frac{\partial L}{\partial A}$
• $\frac{\partial L}{\partial B}$

其中 $L=L(Z)$ 是某个标量 loss 函数。我们使用全微分视角推导：

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Step 1：对 $Z=AB$ 进行全微分

因为：

$$dZ=d(AB)=dA\cdot B+A\cdot dB$$

这是矩阵的乘法微分链式法则，对应于李代数中常见的形式。(其实很好理解，二阶微分量被忽略了导致的)

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Step 2：对 $loss$ 的全微分展开

记：

$$dL=\mathrm{Tr}\left({\frac{\partial L}{\partial Z}}^{\top }dZ\right)$$

将 $dZ$ 展开：

$$dL=\mathrm{Tr}\left({\frac{\partial L}{\partial Z}}^{\top }(dA\cdot B+A\cdot dB)\right)=\mathrm{Tr}\left({\frac{\partial L}{\partial Z}}^{\top }dA\cdot B\right)+\mathrm{Tr}\left({\frac{\partial L}{\partial Z}}^{\top }A\cdot dB\right)$$

接下来分别处理两项。

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Step 3：使用 trace 的性质处理第一项

我们利用 Trace 的循环不变性：

$$\mathrm{Tr}(X^{\top }Y)=\mathrm{Tr}(Y{X}^{\top })$$

第一项变形如下：

$$\mathrm{Tr}\left(\left({\frac{\partial L}{\partial Z}}^{\top }{B}^{\top }\right)dA\right)=\mathrm{Tr}\left({\left(\frac{\partial L}{\partial Z}{B}^{\top }\right)}^{\top }dA\right)\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial A}=\frac{\partial L}{\partial Z}{B}^{\top }$$

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Step 4：处理第二项

$$\mathrm{Tr}\left({\frac{\partial L}{\partial Z}}^{\top }A\cdot dB\right)=\mathrm{Tr}\left({\left(A^{\top }\frac{\partial L}{\partial Z}\right)}^{\top }dB\right)\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial B}=A^{\top }\frac{\partial L}{\partial Z}$$

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总结

从全微分出发，得出矩阵乘法的梯度为：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\partial L}{\partial A}& =\frac{\partial L}{\partial Z}{B}^{\top }\\ \frac{\partial L}{\partial B}& =A^{\top }\frac{\partial L}{\partial Z}\end{array}}$$

这也是深度学习中常见的反向传播法则中 Linear 层的梯度来源。

$tracetrick$

可以询问 ChatGPT 如下，trace 的性质，trace trick 有哪些

更多例子来理解

我们现在以全微分和 trace trick 为核心工具，从基础原则出发，推导出一些在深度学习 / 大模型训练中广泛使用的梯度来源。以下是几个重要模块的推导，我们会逐步展示它们的梯度是如何来的。

这里还是举一些关键词，自行和 ChatGPT 对话吧。

ReLU Softmax Sigmoid LayerNorm 等等等

最好还是让大模型生成梯度表达式的同时给出 Pytorch 手动实现反向传播机制。

大模型给出一些理由为什么要手动实现反向传播

当然，以下是方便你复制到博客的版本，没有使用 emoji，结构清晰，适合展示：

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PyTorch 自动反向传播与手动反向传播实现的价值

虽然 PyTorch 及其他深度学习框架能够自动计算梯度，但手动实现反向传播依然具有重要的价值和意义，具体包括以下几个方面：

1. 深刻理解计算图与梯度机制

• 自动微分是链式法则的自动执行，只有理解反向传播的原理，才能真正掌握深度学习的本质。
• 手动实现反向传播有助于清晰理解各层的梯度传递逻辑，便于调试和设计新的模型结构。
• 有助于理解梯度消失、梯度爆炸及数值稳定性等关键问题。

2. 实现自定义操作（Autograd 不支持的操作）

• 框架自带的算子有限，许多复杂或新颖的操作需要手动实现前向和反向传播。
• 例如自定义激活函数、归一化层、特殊损失函数或采样方法等。
• 手动实现反向传播是编写 torch.autograd.Function 的基础。

3. 优化计算效率和内存使用

• 自动求导有时会计算或保存多余的中间变量，影响效率和内存消耗。
• 手写反向传播能够设计更高效的计算路径，减少内存占用。
• 例如在自定义 CUDA kernel 或 Triton kernel 中，手动反向传播能够显著提升性能。

4. 教学和科研的必要环节

• 在理论课程和研究中，推导并验证梯度公式是基础。
• 设计和实现新算法必须推导反向传播才能写出正确代码。
• 论文复现时手动推导和实现是验证算法正确性的重要手段。

5. 定制数值稳定策略

• 自动求导不会主动处理数值不稳定问题。
• 手动实现时可针对关键操作加入 clamp、epsilon 等技巧保障数值稳定。
• 例如 LayerNorm、Softmax、LogSumExp 等操作的稳定性处理。

6. 理解自动求导的局限性和边界情况

• 部分操作可能不支持自动微分，或者求导效率低下。
• 手动实现有助于设计替代方案，比如截断梯度、替代梯度等技巧。
• 有助于理解离散变量梯度估计、梯度稀疏性等特殊情况。

角度	价值说明
理论学习	深入理解反向传播与链式法则
自定义算子	实现框架不支持的复杂操作
性能优化	提升计算效率，节省显存
科研开发	推导实现新算法的关键环节
数值稳定	主动控制数值稳定性与精度
局限理解	理解自动微分的限制及特殊处理需求

尽管自动求导极大便利了模型开发，但掌握反向传播的原理和手动实现技能仍然是深度学习工程师和研究者的核心能力。