RL学习

简单看看

【真-极简爬坡式强化学习入门(代码现编，PyTorch版）】 https://www.bilibili.com/video/BV1Gq4y1v7Bs/?p=2&share_source=copy_web&vd_source=ec8629ab079093aa739549702649bab1

一些学习路径

In short, imitation is good and you have to do it initially. But once you’re bootstrapped enough, if you want to beat the teacher you must do on-policy RL and play to your own strengths and weaknesses :) jason wei的博客 所以说按照猛猿所说的路径，大概就是先看李宏毅的强化学习课程，再直接摁看 openrlhf 的代码实现就可以入门 rl 了。 蘑菇书入门强化学习 https://datawhalechina.github.io/easy-rl/#/chapter1/chapter1 动手实现强化学习补足代码

一些高观点，例如变分法与欧拉-拉格朗日方程，比如哈密顿方程等，和强化学习路径优化等相似之处。

好的，这是一个非常深入的技术问题。我们来详细地、从数学层面解析 PPO 和 GRPO 的区别，以及 GRPO 做出的核心改进。

简单来说，PPO 是一种通用的强化学习算法，而 GRPO 是 PPO 针对大语言模型（LLM）推理任务的一种专门优化和变体。它们的核心哲学——通过限制策略更新幅度来保证训练稳定——是一致的，但实现这一点的具体“参照物”和计算方式完全不同。

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Part 1: PPO (Proximal Policy Optimization) 的数学原理

PPO 的核心是为了解决传统策略梯度（Policy Gradient）方法中，更新步长过大可能导致策略“崩溃”（即性能突然大幅下降）的问题。

目标：最大化一个“代理”目标函数（Surrogate Objective Function），这个函数通过一个**裁剪（Clipping）**机制来限制新旧策略的差异。

PPO 最关键的数学公式是它的裁剪代理目标函数 L_CLIP(θ):

$$L^{CLIP}(\theta )={\hat{\mathbb{E}}}_t\left[\min \left(r_t(\theta ){\hat{A}}_t,\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ){\hat{A}}_t\right)\right]$$

让我们拆解这个公式：

1. $r_t(\theta )$：概率比 (The Probability Ratio)

   $$r_t(\theta )=\frac{{\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}{{\pi }_{{\theta }_{\text{old}}}(a_t|s_t)}$$

   这个比值衡量了在新策略 π_θ 下采取动作 a_t 的概率与在旧策略 π_θ_old 下的概率之比。

   • 如果 r_t(θ) > 1，说明新策略更倾向于这个动作。
   • 如果 r_t(θ) < 1，说明新策略不太倾向于这个动作。

2. ${\hat{A}}_t$：优势函数 (The Advantage Function) ${\hat{A}}_t$ 估算了在状态 s_t 下，采取动作 a_t 相较于平均水平（由一个叫做“价值函数” V(s_t) 的东西来衡量）有多好。

   • 如果 ${\hat{A}}_t>0$，说明这个动作比平均要好，我们应该鼓励策略更多地执行它。
   • 如果 ${\hat{A}}_t<0$，说明这个动作比平均要差，我们应该抑制策略执行它。

3. $\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)$：裁剪函数 这是 PPO 的精髓。它强行将概率比 r_t(θ) 限制在一个很小的区间 [1-ε, 1+ε] 内（通常 ε 是一个很小的数，比如 0.2）。

4. $\min (...)$：取两者中的较小值

   • 当优势 ${\hat{A}}_t>0$ 时（好动作）：目标变成了 $\min (r_t(\theta ){\hat{A}}_t,(1+ϵ){\hat{A}}_t)$。这意味着，即使 r_t(θ) 变得很大（策略更新过猛），目标函数的值最多也只能是 (1+ε)Â_t。这防止了对好动作的过度奖励，避免策略更新步子迈得太大。
   • 当优势 ${\hat{A}}_t<0$ 时（坏动作）：目标变成了 $\max (r_t(\theta ){\hat{A}}_t,(1-ϵ){\hat{A}}_t)$（因为负数取 min 等于正数取 max）。这意味着，即使 r_t(θ) 变得很小，目标函数的值最多也只能是 (1-ε)Â_t。这防止了对坏动作的过度惩罚。

PPO 总结：PPO 的更新是基于单个动作的好坏（${\hat{A}}_t$），并通过裁剪概率比 r_t(θ) 来确保更新是保守和稳定的。它的参照物是价值函数 V(s)。

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Part 2: GRPO (Group Relative Policy Optimization) 的改进

GRPO 认识到，对于 LLM 来说，“动作”不再是单一的、离散的选择（如游戏中的“向左走”），而是一个完整的、连贯的文本序列（一个完整的回答）。用传统的优势函数 ${\hat{A}}_t$ 来评估这样一个复杂的“动作”非常困难且低效。

因此，GRPO 做出了根本性的改变：它不再将一个回答与一个抽象的“平均水平”（价值函数）进行比较，而是将一组候选回答相互之间进行比较。

目标：让模型学会生成相对更好的回答。

GRPO 的核心数学改进在于优势函数的重新定义。

假设对于一个问题 q，我们让当前策略 π_θ 生成一个**组（Group）**的 K 个不同回答 {o_1, o_2, ..., o_K}，并为每个回答计算一个奖励 {r_1, r_2, ..., r_K}。

GRPO 的优势函数 Â_i 定义为：

$${\hat{A}}_i=\frac{r_i-\text{mean}(\{r_j{\}}_{j=1}^K)}{\text{std}(\{r_j{\}}_{j=1}^K)}$$

让我们拆解这个新的优势函数：

1. 参照物变了：这里的优势不再是 r - V(s)，而是 r_i - mean({r_j})。也就是说，回答 o_i 的优势是它的奖励 r_i 与当前这组回答的平均奖励的差值。
2. 动态基线：这个基线（平均奖励）是动态的、经验的。它完全取决于当前模型在这一次采样中生成的其他回答是什么样的。这使得算法能够非常灵活地适应模型能力的变化。
3. 归一化：除以标准差 std 是一个标准操作，它使得优势值更加稳定，不受奖励数值范围的影响。

GRPO 的最终目标函数与 PPO 形式上类似，但其内部的 r_t(θ) 和 Â_t 的含义已经完全改变：

• r_i(θ) 是生成回答 o_i 的新旧策略概率比。
• Â_i 是上面定义的组内相对优势。

GRPO 做出的改进总结：

特性	PPO (Proximal Policy Optimization)	GRPO (Group Relative Policy Optimization)
分析单元	单个 状态-动作对 (state-action pair)	一组完整的 候选回答序列 (group of output sequences)
优势计算	动作价值 vs 状态价值 A(s,a) = Q(s,a) - V(s)	样本奖励 vs 组内平均奖励 A_i = r_i - mean({r_j})
比较基线	需要学习一个独立的价值函数 V(s) 作为基线	使用同批次样本的经验均值作为动态基线，无需额外模型
核心思想	这个动作在绝对意义上有多好？（相比于平均水平）	在生成的这些回答中，哪个相对更好？
适用领域	通用强化学习（游戏、机器人控制等）	专门为大语言模型对齐/微调设计

打个比方：

• PPO 就像一个老师根据一个固定的评分标准（价值函数 V(s)）来给每个学生的单道题目打分。
• GRPO 则像老师让全班同学写一篇作文，然后在这些作文中进行比较和排名，找出写得最好的几篇，并告诉大家要向它们学习。这是一种“内部竞争”和“择优学习”的机制，更适合评估和提升复杂、开放式的生成任务。